Radacinile unei functii de gradul doi
Download referat
Total vizualizari: 1597
Numar de cuvinte: 378
Comparatia radacinilor unei functii de gradul al doilea f(x)=ax2+bx+c cu un numar real ? dat
Aceasta problema se poate rezolva si notand y=x-?, dupa care se studiaza semnele radacinilor ecuatiei echivalente in y care se obtine. Ne propunem insa sa evidentiem un mod de rationament bazat pe proprietatile functiei de gradul al doilea (si pe proprietati usor de intuit ale functiilor continue, care se vor justifica pe deplin in cursul clasei a XI-a).
Bineinteles ca o prima conditie care trebuie pusa este ca ecuatia f(x)=0 sa admita radacini reale, ceea ce se intampla cand .
Nu ne propunem sa dam o demonstratie extrem de riguroasa, interesul nostru fiind exclusiv pragmatic (adica insusirea unor deprinderi de rezolvare corecta si imediata a unor exercitii). Sa examinam figura 1, care descrie geometric situatia in care .
Conditia apare ca evidenta, din moment ce si (aceasta relatie rezulta imediat conform relatiilor lui Viete). Scriind functia de gradul al doilea sub forma descompusa in factori liniari:
Nu mai justificam seturile de conditii (2) si (3); rationamentul se desfasoara similar cu cazul I).
OBSERVATII. 1) In culegerile de exercitii, apar deseori enunturi de forma: "sa se determine parametrul real m astfel incat...". In aceste cazuri, coeficientii functiilor de gradul al doilea sunt functii simple de un parametru real. Utilizand dupa caz unul din seturile de conditii (1), (2) sau (3) - si - a nu se uita - conditia - aceste exercitii-tip se reduc la rezolvarea unuia sau mai multor sisteme de inecuatii de gradele I si al doilea.
2) O greseala relativ frecventa la rezolvarea acestor exercitii este ignorarea cazului in care functia de gradul al doilea degenereaza intr-o functie de gradul intai (spre exemplu, functia devine de gradul intai pentru ).
Exercitiu rezolvat (din celebra culegere Nita/Nastasescu/Joita/Brandiburu, editia 1983). Sa se determine valorile parametrului real m astfel incat multimea:
Solutie. Notand , pentru ca ecuatia sa aiba o singura solutie pe intervalul ne situam in cazul II) de mai sus, in conditiile in care (cazul il vom studia separat, deoarece functia data degenereaza intr-o functie de gradul intai).
Prima inecuatie din sistem devine dupa ceva calcule . Cea de-a doua se scrie . Efectuand intersectia intre cele doua multimi, gasim
Sa tratam acum si cazul in care . Avem , a carei radacina nu apartine intervalului .
Solutia finala a exercitiului este deci .
Nota referatului: 2.00